Question

15．設(shè)z=log₂（1+m）+i log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3-m） （m∈R）．
（1）若z是虛數(shù)，求m的取值范圍；
（2）若z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意：z是虛數(shù)，則虛部不能為0即可求m的取值范圍．
（2）由題意：z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)部小于0，虛部小于0即可求m的取值范圍

解答 解：z=log₂（1+m）+i log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3-m） （m∈R），可得：-1＜m＜3；
（1）z是虛數(shù)，則虛部不能為0，即$lo{g}_{\frac{1}{2}}（3-m）=0$，
解得：m≠2
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-1，2）∪（2，3）
（2）z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)部小于0，虛部小于0，即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1+m）＜0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（3-m）＜0}\end{array}\right.$，
解得：m＜0
又∵-1＜m＜3；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用復(fù)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，解對(duì)數(shù)的定義域問(wèn)題以及不等式的計(jì)算．屬于中檔題．