Question

【題目】在數(shù)列中，.

（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？并說明理由；

（2）若對(duì)任意正整數(shù)，恒成立，求首項(xiàng)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）

【解析】

（1）轉(zhuǎn)化條件得，由等比數(shù)列的概念即可得解；

（2）易得當(dāng)時(shí)，符合條件；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)為奇數(shù)、為偶數(shù)分類討論，由恒成立問題的解決辦法即可得解.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以，

所以當(dāng)即時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列；

當(dāng)，即時(shí)，，所以，

所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以恒成立；

當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，

所以，

即.

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以.

又單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得最大值，所以；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.

又單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為2，所以，

所以；

綜上，首項(xiàng)的取值范圍為.