Question

2．（1）已知非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$．求證：$\frac{{|{\overrightarrow a}|+|{\overrightarrow b}|}}{{|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|}}$≤$\sqrt{2}$．
（2）命題“若a₁，a₂∈R，a₁²+a₂²=1，則|a₁+a₂|≤$\sqrt{2}$．”
證明：構造函數(shù)f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，則f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+1，
因為對一切實數(shù)x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，從而4（a₁+a₂）²-8≤0，所以|a₁+a₂|≤$\sqrt{2}$．
試將上述命題推廣到n個實數(shù)，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）利用分析法，結合向量數(shù)量積的應用進行證明即可．
（2）利用類比推理的定義，進行證明即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
$要證\frac{{|{\overrightarrow a}|+|{\overrightarrow b}|}}{{|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|}}≤\sqrt{2}$即證明|$\overrightarrow a$|+|$\overrightarrow b$|≤$\sqrt{2}$|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|，即（|$\overrightarrow a$|+|$\overrightarrow b$|）²≤2|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|²，
即|$\overrightarrow a$|²+2|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|+|$\overrightarrow b$|²≤2（|$\overrightarrow a$|²+2|$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$|+|$\overrightarrow b$|²），
即|$\overrightarrow a$|²-2|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|+|$\overrightarrow b$|²≥0，
即（|$\overrightarrow a$|-|$\overrightarrow b$|）²≥0成立，
∵（|$\overrightarrow a$|-|$\overrightarrow b$|）²≥0恒成立，
∴故原不等式成立； …（7分）
（2）若a₁，a₂，…，a_n∈R，$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2=1$，
則$|{a_1}+{a_2}+…+{a_n}|≤\sqrt{n}$．…（10分）
證明：構造函數(shù)$f（x）={（x-{a_1}）^2}+{（x-{a_2}）^2}+…+{（x-{a_n}）^2}$，
則$f（x）=n{x^2}-2（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）x+a_1^2+a_2^2+…+a_n^2=n{x^2}-2（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）x+1$，
因為對一切實數(shù)x，恒有f（x）≥0，
所以△≤0，從而$4{（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）^2}-4n≤0$，
所以$|{a_1}+{a_2}+…+{a_n}|≤\sqrt{n}$．…（14分）

點評 本題主要考查推理和證明的應用，利用分析法以及類比推理是解決本題的關鍵．考查學生的運算和推理能力．