Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， a1=1，an+1= Sn ． 求證：
（1）數(shù)列{ }成等比；
（2）Sn+1=4an ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an+1= Sn，

∴Sn= ，Sn﹣1= ，n≥2

∴an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，

即2n× = ，

∵n≠0，∴ = ，

∴ ，（n≥2）

即 ： =2，

n=1時(shí)， = =1，

∴{ }是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．

（2）證明：∵{ }是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，

∴ =2n﹣1，∴Sn=n2n﹣1，

∴an+1= Sn= =（n+2）2n﹣1，

∴an=（n+1）2n﹣2．

∴Sn+1=（n+1）2n=4an．
【解析】（1）由an+1= Sn ， 知Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，從而 = ，進(jìn)而 ，（n≥2），由此能證明{ }是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）可知Sn=n2n﹣1 ， an=（n+1）2n﹣2 ． 由此能證明Sn+1=（n+1）2n=4an ．
【考點(diǎn)精析】利用等比關(guān)系的確定和數(shù)列的通項(xiàng)公式對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．