7.已知函數(shù)f(x)=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$(a≠0)滿足$\overrightarrow a$=(x2,c),$\overrightarrow b$=(1,x),且f(1)=2,令g(x)=f(x)-|λx-1|(λ>0).
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)研究函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析 (1)f(x)=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=x2+cx,故f(1)=1+c=2,求出c值,可得函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)g(x)=f(x)-|λx-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+(1+λ)x-1,x<\frac{1}{λ}\\{x}^{2}+(1-λ)x+1,x≥\frac{1}{λ}\end{array}\right.$,(λ>0).結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即f(x)=x2+x和y=|λx-1|的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),數(shù)形結(jié)合,可得答案.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow a$=(x2,c),$\overrightarrow b$=(1,x),
∴f(x)=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=x2+cx,
∵f(1)=1+c=2,
解得:c=1,
∴f(x)=x2+x,
(2)g(x)=f(x)-|λx-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+(1+λ)x-1,x<\frac{1}{λ}\\{x}^{2}+(1-λ)x+1,x≥\frac{1}{λ}\end{array}\right.$,(λ>0).
當(dāng)λ≤2時(shí),函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,$-\frac{1+λ}{2}$],單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{1+λ}{2}$,+∞);
當(dāng)λ>2時(shí),函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,$-\frac{1+λ}{2}$],[$\frac{1}{λ}$,$\frac{λ-1}{2}$],單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{1+λ}{2}$,$\frac{1}{λ}$],[$\frac{λ-1}{2}$,+∞);
(3)令g(x)=f(x)-|λx-1|=0,
則f(x)=|λx-1|,
在同一坐標(biāo)系中畫出f(x)=x2+x和y=|λx-1|的圖象如下圖所示:

當(dāng)λ=3時(shí),y=3x-1與y=x2+x切于(1,2)點(diǎn),
故由圖可得:λ>3時(shí),f(x)=x2+x和y=|λx-1|的圖象在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)交點(diǎn),
即函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)零點(diǎn)
0<λ≤3時(shí),f(x)=x2+x和y=|λx-1|的圖象在區(qū)間(0,1)上有一個(gè)交點(diǎn),
即函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合思想,分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及判斷,向量的數(shù)量積,函數(shù)的單調(diào)性,難度中檔.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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