Question

18．某廠家擬舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量x萬件與年促銷費用m萬元（m≥0）滿足x=3-$\frac{k}{m+1}$（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，該產品的年銷售量只能是1萬件．已知生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要投入16萬元，廠家將每件產品的價格定為年平均每件產品成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）
（1）將該產品的年利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)
（2）該廠家年促銷費用投入為多少萬元時，廠家的年利潤最大？最大年利潤是多少萬元？

Answer 1

分析 （1）由題目中產品的年銷售量x萬件與年促銷費用m萬元的函數(shù)關系式為：x=3-$\frac{k}{m+1}$，當m=0時，x=1，可得k的值，即得x關于m的解析式；又每件產品的銷售價格為1.5×$\frac{8+16x}{x}$（萬元），則利潤y=x[1.5×$\frac{8+16x}{x}$]-（8+16x+m）整理即可．
（2）對（1）利潤函數(shù)y=-[$\frac{16}{m+1}$+（m+1）]+29（m≥0），利用基本不等式求最大值即可．

解答 解：（1）由題意知，當m=0時，x=1，∴1=3-k，即k=2，∴x=3-$\frac{2}{m+1}$；
每件產品的銷售價格為1.5×$\frac{8+16x}{x}$（萬元），
∴利潤函數(shù)y=x[1.5×$\frac{8+16x}{x}$]-（8+16x+m）
=4+8x-m=4+8（3-$\frac{2}{m+1}$）-m
=-[$\frac{16}{m+1}$+（m+1）]+29（m≥0）．
（2）因為利潤函數(shù)y=-[$\frac{16}{m+1}$+（m+1）]+29（m≥0），
所以，當m≥0時，$\frac{16}{m+1}$+（m+1）≥8，
∴y≤-8+29=21，當且僅當$\frac{16}{m+1}$=m+1，即m=3（萬元）時，y_max=21（萬元）．
所以，該廠家2008年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元．

點評 本題考查了商品利潤函數(shù)模型的應用，也考查了基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）的靈活運用，是中檔題目．