Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+m．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，是否存在實數(shù)m，使函數(shù)f（x）的值域恰為[${\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}}$]？若存在，請求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式及輔助角公式，將f（x）化簡為，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，從而可求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，從而求得f（x）∈[m，m+3]，由題意，列方程組，即可求得m的值．

解答 解：f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+m．
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+m+1，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
由周期公式T=$\frac{2π}{ω}$=π，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，（k∈Z），
解得：$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，（k∈Z），
函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，（k∈Z）；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
故f（x）∈[m，m+3]，
故存在m的滿足題意，即$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{m+3=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，解得：m=$\frac{1}{2}$，
故存在m=$\frac{1}{2}$，使得函數(shù)f（x）的值域恰為[${\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}}$]．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性、單調(diào)區(qū)間和值域的求法，考查了整體思想，屬于中檔題．