Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿a₁=a，a₂=b，3a_n+2-5a_n+1+2a_n=0（n≥0，n∈N），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 將條件式移項(xiàng)可得a_n+2-a_n+1=$\frac{2}{3}$（a_n+1-a_n），故而{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，從而得出a_n-a_n-1=（b-a）（$\frac{2}{3}$）^n-2，使用累加法求出通項(xiàng)公式．

解答 解：∵3a_n+2-5a_n+1+2a_n=0，
∴a_n+2-a_n+1=$\frac{2}{3}$（a_n+1-a_n），
且a₂-a₁=b-a．
∴{a_n+1-a_n}是以b-a為首項(xiàng)，以$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=（b-a）（$\frac{2}{3}$）^n-1，
∴a_n-a_n-1=（b-a）（$\frac{2}{3}$）^n-2，
a_n-1-a_n-2=（b-a）（$\frac{2}{3}$）^n-3，
…
a₃-a₂=（b-a）$\frac{2}{3}$，
a₂-a₁=b-a，
以上各式相加得：
a_n-a₁=（b-a）[1+$\frac{2}{3}$+（$\frac{2}{3}$）²+…+（$\frac{2}{3}$）^n-2]=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}$（b-a）=3[1-（$\frac{2}{3}$）^n-1]（b-a）．
∴a_n=3[1-（$\frac{2}{3}$）^n-1]（b-a）+a=3b-2a+3（$\frac{2}{3}$）^n-1（a-b）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列等比關(guān)系的確定，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，屬于中檔題．