Question

3．（Ⅰ）已知a和b是任意非零實(shí)數(shù)滿足|2a+b|+|2a-b|≥λ|a|，求實(shí)數(shù)λ的最大值．
（Ⅱ）若不等式|2x+1|-|x+1|＞k（x-1）-$\frac{1}{4}$恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用雙絕對值不等式的性質(zhì)|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|即可證得結(jié)論成立；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)$h（x）=|{2x+1}|-|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}-x，x≤-1\\-3x-2，-1＜x＜-\frac{1}{2}\\ x，x≥-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，作出y=h（x）與過定點(diǎn)（1，-$\frac{1}{4}$）的直線y=k（x-1）-$\frac{1}{4}$的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|
∴$\frac{{|{2a+b}|+|{2a-b}|}}{|a|}≥4$，
從而實(shí)數(shù)λ的最大值為4．…（5分）
（Ⅱ）記$h（x）=|{2x+1}|-|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}-x，x≤-1\\-3x-2，-1＜x＜-\frac{1}{2}\\ x，x≥-\frac{1}{2}\end{array}\right.$
若不等式$|{2x+1}|-|{x+1}|＞k（x-1）-\frac{1}{4}$恒成立，則函數(shù)h（x）的圖象在直線$y=k（x-1）-\frac{1}{4}$的上方，

∵y=k（x-1）-$\frac{1}{4}$經(jīng)過定點(diǎn)（1，-$\frac{1}{4}$），當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，y=h（x）取得最小值-$\frac{1}{2}$，
顯然，當(dāng)y=k（x-1）-$\frac{1}{4}$經(jīng)過定點(diǎn)P（1，-$\frac{1}{4}$）與M（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）時，k_PM=$\frac{-\frac{1}{4}-（-\frac{1}{2}）}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{6}$，即k＞$\frac{1}{6}$；
當(dāng)y=k（x-1）-$\frac{1}{4}$經(jīng)過定點(diǎn)P（1，-$\frac{1}{4}$）與直線y=x平行時，k得到最大值1，
∴數(shù)形結(jié)合可得$k∈（\frac{1}{6}，1]$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查絕對值不等式的性質(zhì)，突出構(gòu)造函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題．