Question

17．已知函數(shù)f（x）=x-alnx-1，g（x）=$\frac{mx}{{e}^{x-1}}$，其中m、a均為實(shí)數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）試討論函數(shù)g（x）的極值情況；
（2）設(shè)m=1，a＜0，若對任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|$\frac{1}{g（{x}_{2}）}$-$\frac{1}{g（{x}_{1}）}$|恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，對m分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．
（2）不妨設(shè)x₂＞x₁，則|f（x2）-f（x1）|＜|$\frac{1}{g（{x}_{2}）}$-$\frac{1}{g（{x}_{1}）}$|恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分別研究函數(shù)f（x）與$\frac{1}{g（x）}$的單調(diào)性，等價(jià)于：f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁），即f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁），分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值求出參數(shù)范圍即可

解答 解：（1）g′（x）=$\frac{m（1-x）}{{e}^{x-1}}$，g′（1）=0．
①m＞0時(shí)，x∈（-∞，1）時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，∴x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值，g（1）=m．
②m＜0時(shí)，x∈（-∞，1）時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∴x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值，g（1）=m．
③m=0時(shí)，g（x）=0，函數(shù)g（x）為常數(shù)函數(shù)，無極值．
（2）a＜0時(shí)，f（x）=x-alnx-1，x∈（0，+∞），
∴f′（x）=1-$\frac{a}{x}$＞0，∴函數(shù)f（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，
m=1時(shí)，$\frac{1}{g（x）}$=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$=h（x），（x≠0），∵x∈[3，4]，∴h′（x）=$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}$＞0，∴函數(shù)h（x），即$\frac{1}{g（x）}$在x∈[3，4]上單調(diào)遞增．
不妨設(shè)x₂＞x₁，則|f（x₂）-f（x₁）|＜|$\frac{1}{g（{x}_{2}）}$-$\frac{1}{g（{x}_{1}）}$|恒成立，等價(jià)于：
f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁），
即f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁），
設(shè)u（x）=f（x）-h（x）=x-alnx-1-$\frac{{e}^{x-1}}{x}$，
則u（x）在[3，4]上為減函數(shù)，
∴u′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}$≤0在[3，4]上恒成立，
∴a≥x-e^x-1+$\frac{{e}^{x-1}}{x}$恒成立，∴a≥（x-e^x-1+$\frac{{e}^{x-1}}{x}$）_max，x∈[3，4]，
設(shè)v（x）=x-e^x-1+$\frac{{e}^{x-1}}{x}$，
∵v′（x）=1-e^x-1+$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}$=1-e^x-1$[（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}]$，
∵e^x-1$[（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}]$≥$\frac{3}{4}{e}^{2}$＞1，
∴v（x）在x∈[3，4]上單調(diào)遞減，
∴a≥4-e³+$\frac{{e}^{3}}{4}$=4-$\frac{3}{4}{e}^{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．