Question

9．已知函數(shù)f（x）=（x+2）²-1在區(qū)間[a，0]上的最大值為3，則在滿足條件的實數(shù)a中任取一個，使函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²-a有3個零點的概率為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 分別求出a的范圍，以長度為測度，即可求出概率．

解答 解：∵f（-4）=f（0），函數(shù)f（x）=（x+2）²-1在區(qū)間[a，0]上的最大值為3，
∴-4≤a＜0，
∵f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²-a，∴f′（x）=x²-2x=0，x=0或x=2，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²-a有3個零點，
∴f（0）f（2）＜0，
∴-a×（$\frac{8}{3}$-4-a）＜0
∴a＜-$\frac{4}{3}$或a＞0，
∵-4≤a＜0，
∴-4≤a＜-$\frac{4}{3}$，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²-a有3個零點的概率為$\frac{4-\frac{4}{3}}{4}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了幾何概型概率的求解，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，屬于綜合題，難度較大．