分析 (Ⅰ)圍成的四邊形如圖所示,它是平行四邊形;
(Ⅱ)以BC,AB為x,y軸,B為原點(diǎn)建立如圖直角坐標(biāo)系B-xyz,求出平面α的法向量,利用向量的夾角公式,即可求直線AB1與平面α所成角的正弦值.
解答 解:(Ⅰ)圍成的四邊形如圖所示,它是平行四邊形;
(Ⅱ)∵AB⊥BC,平面BB1C1C⊥平面ABC,
且平面BB1C1C⊥平面ABC=BC,AB∩?平面ABC
∴AB⊥平面BB1C1C,
∴AB⊥BB1,∠B1BC是二面角B1-AB-C的平面角,
∴∠B1BC=60°,
以BC,AB為x,y軸,B為原點(diǎn)建立如圖直角坐標(biāo)系B-xyz,
由已知CC1∥α,B1M=α∩平面BB1C1C,知B1M∥CC1,
又由臺體的性質(zhì),BC∥B1C1,
∴MCC1B1是平行四邊形,
∴MC=B1C1=3,M是BC的中點(diǎn),
又BB1=CC1,則B1到平面ABC的距離,h=3√32,
同理N是AC的中點(diǎn),
A(0,-8,0),B(0,0,0),B1(-32,0,3√32),M(-3,0,0),
則→MB1=(32,0,3√32),→MN=(0,-4,0),→AB1=(-32,8,3√32).
設(shè)平面α的法向量為→n=(x,y,z),則{32x+3√32z=0−4y=0
得一個(gè)法向量是→n=(√3,0,-1),
設(shè)直線AB1與平面α所成角為θ,則sinθ=|3√3√3+1•√(−32)2+82+(3√32)2|=3√219146.
∴直線AB1與平面α所成角的正弦值為3√219146.
點(diǎn)評 本題考查空間向量知識的運(yùn)用,考查線面位置關(guān)系,考查線面角,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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A. | -√63 | B. | -13 | C. | -√33 | D. | √63 |
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A. | √153 | B. | 53 | C. | 2 | D. | 3 |
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