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2.如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,平面α過點(diǎn)A1,B1,且CC1∥平面α,平面α與三棱臺的面相交,交線圍成一個(gè)四邊形.
(Ⅰ)在圖中畫出這個(gè)四邊形,并指出是何種四邊形(不必說明畫法、不必說明四邊形的形狀);
(Ⅱ)若AB=8,BC=2B1C1=6,AB⊥BC,BB1=CC1,平面BB1C1C⊥平面ABC,二面角B1-AB-C等于60°,求直線AB1與平面α所成角的正弦值.

分析 (Ⅰ)圍成的四邊形如圖所示,它是平行四邊形;
(Ⅱ)以BC,AB為x,y軸,B為原點(diǎn)建立如圖直角坐標(biāo)系B-xyz,求出平面α的法向量,利用向量的夾角公式,即可求直線AB1與平面α所成角的正弦值.

解答 解:(Ⅰ)圍成的四邊形如圖所示,它是平行四邊形;
(Ⅱ)∵AB⊥BC,平面BB1C1C⊥平面ABC,
且平面BB1C1C⊥平面ABC=BC,AB∩?平面ABC
∴AB⊥平面BB1C1C,
∴AB⊥BB1,∠B1BC是二面角B1-AB-C的平面角,
∴∠B1BC=60°,
以BC,AB為x,y軸,B為原點(diǎn)建立如圖直角坐標(biāo)系B-xyz,
由已知CC1∥α,B1M=α∩平面BB1C1C,知B1M∥CC1
又由臺體的性質(zhì),BC∥B1C1,
∴MCC1B1是平行四邊形,
∴MC=B1C1=3,M是BC的中點(diǎn),
又BB1=CC1,則B1到平面ABC的距離,h=332
同理N是AC的中點(diǎn),
A(0,-8,0),B(0,0,0),B1(-32,0,332),M(-3,0,0),
MB1=(32,0,332),MN=(0,-4,0),AB1=(-32,8,332).
設(shè)平面α的法向量為n=(x,y,z),則{32x+332z=04y=0
得一個(gè)法向量是n=(3,0,-1),
設(shè)直線AB1與平面α所成角為θ,則sinθ=|333+1322+82+3322|=3219146
∴直線AB1與平面α所成角的正弦值為3219146

點(diǎn)評 本題考查空間向量知識的運(yùn)用,考查線面位置關(guān)系,考查線面角,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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