Question

2．如圖，在三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁中，平面α過點(diǎn)A₁，B₁，且CC₁∥平面α，平面α與三棱臺(tái)的面相交，交線圍成一個(gè)四邊形．
（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)四邊形，并指出是何種四邊形（不必說明畫法、不必說明四邊形的形狀）；
（Ⅱ）若AB=8，BC=2B₁C₁=6，AB⊥BC，BB₁=CC₁，平面BB₁C₁C⊥平面ABC，二面角B₁-AB-C等于60°，求直線AB₁與平面α所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圍成的四邊形如圖所示，它是平行四邊形；
（Ⅱ）以BC，AB為x，y軸，B為原點(diǎn)建立如圖直角坐標(biāo)系B-xyz，求出平面α的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AB₁與平面α所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）圍成的四邊形如圖所示，它是平行四邊形；
（Ⅱ）∵AB⊥BC，平面BB₁C₁C⊥平面ABC，
且平面BB₁C₁C⊥平面ABC=BC，AB∩?平面ABC
∴AB⊥平面BB₁C₁C，
∴AB⊥BB₁，∠B₁BC是二面角B₁-AB-C的平面角，
∴∠B₁BC=60°，
以BC，AB為x，y軸，B為原點(diǎn)建立如圖直角坐標(biāo)系B-xyz，
由已知CC₁∥α，B₁M=α∩平面BB₁C₁C，知B₁M∥CC₁，
又由臺(tái)體的性質(zhì)，BC∥B₁C₁，
∴MCC₁B₁是平行四邊形，
∴MC=B₁C₁=3，M是BC的中點(diǎn)，
又BB₁=CC₁，則B₁到平面ABC的距離，h=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
同理N是AC的中點(diǎn)，
A（0，-8，0），B（0，0，0），B₁（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），M（-3，0，0），
則$\overrightarrow{M{B}_{1}}$=（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{MN}$=（0，-4，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-$\frac{3}{2}$，8，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
設(shè)平面α的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x+\frac{3\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-4y=0}\end{array}\right.$
得一個(gè)法向量是$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），
設(shè)直線AB₁與平面α所成角為θ，則sinθ=|$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}•\sqrt{（-\frac{3}{2}）^{2}+{8}^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}}$|=$\frac{3\sqrt{219}}{146}$．
∴直線AB₁與平面α所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{219}}{146}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間向量知識(shí)的運(yùn)用，考查線面位置關(guān)系，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．