Question

18．在等腰直角三角形ABC中（圖1），斜邊BC=6，O為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在OC和AC上，且EF∥AO，現(xiàn)將三角形以EF為折痕，向上折成60°的二面角，且使C在平面ABEF內(nèi)的射影恰好為O點(diǎn)（圖2）
（1）求V_C-ABEF；
（2）求平面CEF和平面CAB夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出∠CEO=60°，CO⊥平面ABEF，OE=1，CE=2，CO=$\sqrt{3}$，OA=3，EF=2，由此能求出V_C-ABEF．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面CEF和平面CAB夾角的余弦值．

解答 解：（1）由題意民知OE⊥EF，CE⊥EF，∴∠CEO是二面角C-EF-B的平面角，
∴∠CEO=60°，又C在平面ABEF內(nèi)的射影恰好為O點(diǎn)，∴CO⊥平面ABEF，
又∵斜邊BC=6，O為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在OC和AC上，且EF∥AO，
∴OE=1，CE=2，CO=$\sqrt{3}$，OA=3，EF=2，
∴S_{四邊形ABEF}=S_梯形AOEF+S_△ABO=$\frac{1}{2}（2+3）×1+\frac{1}{2}×3×3$=7，
∴V_C-ABEF=$\frac{1}{3}×{S}_{四邊形ABEF}×SO$=$\frac{1}{3}×7×\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
E（0，-1，0），F(xiàn)（2，-1，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），A（3，0，0），B（0，3，0），
$\overrightarrow{CE}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CF}$=（2，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CA}$=（3，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CB}$=（0，3，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面CEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}=-y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{n}=2x-y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
設(shè)平面CAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{m}=3a-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{m}=3b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面CEF和平面CAB夾角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=0，
∴平面CEF和平面CAB夾角的余弦值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查多面體的體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．