Question

10．用“轉(zhuǎn)移代入法”解以下各題：
（1）已知點(diǎn)A在圓x²+y²=16上移動(dòng)，P（x，y）是連結(jié)點(diǎn)M（8，0）和點(diǎn)A的線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知圓x²+y²=9上的定點(diǎn)P（0，3）及動(dòng)點(diǎn)Q，延長(zhǎng)弦PQ至R，使$\frac{PQ}{QR}$=$\frac{1}{3}$，求點(diǎn)R的軌跡方程；
（3）已知定點(diǎn)A（2，0）及圓x²+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)Q，∠AOQ的角平分線交AQ于點(diǎn)P（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（4）已知點(diǎn)A（-1，0）與點(diǎn)B（1，0），C是圓x²+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使|CD=|BC|，求AC與OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的交點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+8=2x}\\{{y}_{1}+0=2y}\end{array}\right.$，進(jìn)一步得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2x-8}\\{{y}_{1}=2y}\end{array}\right.$，代入x²+y²=16，得（2x-8）²+（2y）²=16，化簡(jiǎn)則可求出點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)R（x，y），Q（x₁，y₁）（y₁≠3），由已知P和$\frac{PQ}{QR}$=$\frac{1}{3}$，得$\overrightarrow{QR}=3\overrightarrow{PQ}$，即（x-x₁，y-y₁）=3（x₁，
y₁-3），則$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}_{1}=3{x}_{1}}\\{y-{y}_{1}=3{y}_{1}-9}\end{array}\right.$，進(jìn)一步得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{x}{4}}\\{{y}_{1}=\frac{y+9}{4}}\end{array}\right.$，代入x²+y²=9化簡(jiǎn)整理即可得到點(diǎn)R的軌跡方程；
（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由三角形內(nèi)角平分線定理寫出方程組，解出x₀和y₀，代入已知圓的方程即可．此求軌跡方程的方法為相關(guān)點(diǎn)法；
（4）先設(shè)出相應(yīng)的坐標(biāo)，然后用要求的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出已知軌跡方程的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入已知的軌跡方程，即可求出點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的方程．本題宜先借且圖象分析其幾何 特征，將幾何特征進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+8=2x}\\{{y}_{1}+0=2y}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2x-8}\\{{y}_{1}=2y}\end{array}\right.$，
代入x²+y²=16，得（2x-8）²+（2y）²=16，即（x-4）²+y²=4．
∴點(diǎn)P的軌跡方程是（x-4）²+y²=4；
（2）設(shè)R（x，y），Q（x₁，y₁）（y₁≠3），又P（0，3），
由$\frac{PQ}{QR}$=$\frac{1}{3}$，得$\overrightarrow{QR}=3\overrightarrow{PQ}$，即（x-x₁，y-y₁）=3（x₁，y₁-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}_{1}=3{x}_{1}}\\{y-{y}_{1}=3{y}_{1}-9}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{x}{4}}\\{{y}_{1}=\frac{y+9}{4}}\end{array}\right.$，代入x²+y²=9得：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{（y+9）^{2}}{16}=9$（y≠3）；
（3）在△AOQ中，∵OP是∠AOQ的平分線
∴$\frac{|AP|}{|QP|}=\frac{|OA|}{|OQ|}=2$，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2+2{x}_{0}}{3}}\\{y=\frac{2{y}_{0}}{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3x-2}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{3y}{2}}\end{array}\right.$，
∵Q（x₀，y₀）在圓x²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，∴x₀²+y₀²=1，
即$（\frac{3x-2}{2}）^{2}+（\frac{3y}{2}）^{2}=1$，
∴$（x-\frac{2}{3}）^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{9}$；
（4）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），由題意可知P是△ABD的重心，故連接AD．
由A（-1，0），B（1，0），令動(dòng)點(diǎn)C（x₀，y₀），則D（2x₀-1，2y₀），
由重心坐標(biāo)公式：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+1+（2{x}_{0}-1）}{3}}\\{y=\frac{2{y}_{0}}{3}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3x+1}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{3y}{2}（{y}_{0}≠0）}\end{array}\right.$，
代入x²+y²=1，整理得所求軌跡方程為（x+$\frac{1}{3}$）²+y²=$\frac{4}{9}$（y≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，訓(xùn)練了代入法．在用此法時(shí)，注意一些點(diǎn)的取舍，是中檔題．