Question

2．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學的古典名題：“今有垣厚若千尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”若兩只老鼠打洞長度之和為33-$\frac{1}{{2}^{4}}$尺，則兩老鼠打洞的天數(shù)是5．

Answer 1

分析 據(jù)題意可知，大老鼠和小老鼠打洞的距離為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式，求得S_n．

解答 解：由題意可知：大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
前n天打洞之和為S₁=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
小老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
前n天打洞之和為S₂=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴兩只老鼠打洞長度之和S=S₁+S₂=2ⁿ+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S=2ⁿ+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
當S=33-$\frac{1}{{2}^{4}}$，即2ⁿ+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=33-$\frac{1}{{2}^{4}}$，
解得n=5，
故答案為：5．

點評 本題考查根據(jù)實際問題構(gòu)造等比數(shù)列，并求等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．