Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+3x+1．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性，并求其單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，即可得出；
（II）f′（x）≥0恒成立，即3x²-6ax+3≥0恒成立，分離參數(shù)可得a≤

x2+1

2x

，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=x³-3x²+3x+1，
則f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
∴f（x）在R上為增函數(shù)，增區(qū)間為（-∞，+∞）．
（Ⅱ）f′（x）≥0恒成立，即3x²-6ax+3≥0恒成立，得a≤

x2+1

2x

，
令g(x)=

x2+1

2x

，只需a≤[g（x）]_min，
而g(x)=

1

2

(x+

1

x

)≥

1

2

•2

x• 1 x

=1，
即[g（x）]_min=1，
∴a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩條導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)，考查了分離參數(shù)方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．