Question

4．如圖，幾何體ABCA₁B₁C₁中，面ABC是邊長為2的正三角形，AA₁，BB₁，CC₁都垂直于面ABC，且AA₁=2BB₁=2CC₁=2，D為B₁C₁的中點，E為A₁D的中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求BC₁與面A₁B₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取BC的中點O，連結AO，OD，以O為原點就空間直角坐標系，求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$的坐標，利用數(shù)量積為0證明AE⊥B₁C₁，AE⊥A₁B₁，從而得出AE⊥面A₁B₁C₁；
（II）由（I）可知$\overrightarrow{AE}$為平面A₁B₁C₁的一個法向量，于是BC₁與面A₁B₁C₁所成角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{AE}$＞|．

解答 證明：（I）取BC的中點O，連結AO，OD，則OD∥A₁A，OA⊥BC．
∵AA₁⊥平面ABC，∴OD⊥平面ABC．
以O為原點，以OC，OA，OD為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：
則O（0，0，0），A（0，$\sqrt{3}$，0），A₁（0，$\sqrt{3}$，2），B₁（-1，0，1），C₁（1，0，1），D（0，0，1），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（2，0，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（-1，-$\sqrt{3}$，-1），
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=0，
∴AE⊥B₁C₁，AE⊥A₁B₁，又B₁C₁?平面A₁B₁C₁，A₁B₁?平面A₁B₁C₁，A₁B₁∩B₁C₁=B₁，
∴AE⊥平面A₁B₁C₁．
（II）由（I）知$\overrightarrow{AE}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）為平面A₁B₁C₁的一個法向量，
∵$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（2，0，1），∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{AE}$=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{B{C}_{1}}$|=$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．
∴BC₁與面A₁B₁C₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計算，空間向量的應用，屬于中檔題．