Question

16．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，A₁A=AB=AC，D是AB中點．
（1）記平面B₁C₁D∩平面A₁C₁CA=l，在圖中作出l，并說明畫法；
（2）求直線l與平面B₁C₁CB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由面面平行的性質(zhì)可知平面B₁C₁D與平面ABC的交線與B₁C₁平行，故只需過D作BC的平行線交AC于E，則C₁E即為l；
（2）以A為坐標原點，以AA₁，AB，AC為坐標軸建立空間直角坐標系，設(shè)AB=2，求出$\overrightarrow{{C}_{1}E}$和平面B₁C₁CB的法向量$\overrightarrow{n}$的坐標，則直線l與平面B₁C₁CB所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{C}_{1}E}$＞|．

解答 解：（1）取AC中點E，連結(jié)DE，C₁E，則直線C₁E為平面B₁C₁D與平面A₁C₁CA的交線l
（2）以A為坐標原點，以AA₁，AB，AC為坐標軸建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AB=AC=AA₁=2，則B（2，0，0），B₁（2，2，0），C（0，0，2），C₁（0，2，2），E（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（0，-2，-1），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，2）．
設(shè)平面BB₁C₁C的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}E}$=-1，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{{C}_{1}E}$|=$\sqrt{5}$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{C}_{1}E}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}E}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{C}_{1}E}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴直線l與平面B₁C₁CB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本意考查了面面平行的性質(zhì)，線面角的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．