Question

16．已知函數(shù)$f（x）={log_4}{x^2}•{log_2}（{16^a}•{x^3}）$
（1）若a=1，求方程f（x）=-1的解集．
（2）當x∈[2，4]時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，若a=1，則可得log₂x（4+3log₂x）=-1，令t=log₂x，則方程為t（4+3t）=-1，解得t，即可求得x的解集．
（2）由x∈[2，4]，可求t=log₂x∈[1，2]，可得f（t）=t（3t+4a），t∈[1，2]，對稱軸為$t=-\frac{2}{3}a$，分類討論即可得解函數(shù)f（x）的最小值．

解答 解：$f（x）={log_4}{x^2}•{log_2}（{16^a}•{x^3}）={log_2}x•（{log_2}{2^{4a}}+{log_2}{x^3}）$=log₂x（4a+3log₂x），（x＞0），
（1）若a=1，則f（x）=log₂x（4+3log₂x）=-1，
令t=log₂x，則方程為t（4+3t）=-1，
解得：$t=-\frac{1}{3}$或t=-1，
則${log_2}x=-\frac{1}{3}$或log₂x=-1，
∴$x={2^{-\frac{1}{3}}}=\frac{{\root{3}{4}}}{2}$或$x=\frac{1}{2}$
∴方程的解集為$\left\{{\frac{{\root{3}{4}}}{2}\;，\;\frac{1}{2}}\right\}$．
（2）∵x∈[2，4]，
∴l(xiāng)og₂x∈[1，2]，令t=log₂x∈[1，2]，
則f（t）=t（3t+4a），t∈[1，2]，對稱軸為$t=-\frac{2}{3}a$，
①當$-\frac{2}{3}a≤1$，即$a≥-\frac{3}{2}$時，f_min（t）=f（1）=4a+3
②當$1＜-\frac{2}{3}a＜2$，即$-3＜a＜-\frac{3}{2}$時${f_{min}}（t）=f（-\frac{2}{3}a）=-\frac{4}{3}{a^2}$，
③當$-\frac{2}{3}a≥2$，即a≤-3時f_min（t）=f（2）=8a+12，
綜上：${f_{min}}（x）=\left\{\begin{array}{l}4a+3\;，\;a≥-\frac{3}{2}\\-\frac{4}{3}{a^2}\;，\;-3＜a＜-\frac{3}{2}\\ 8a+12\;，\;a≤-3\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查了分類討論思想，屬于中檔題．