Question

設(shè)f（x）＝ax3＋bx＋c為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x－6y－7＝0垂直，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值為－12.

（1）求a，b，c的值；

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，極大值和極小值，并求函數(shù)f（x）在[－1,3]上的最大值與最小值．

 

Answer 1

（1）a＝2，b＝－12，c＝0.；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－），（，＋∞）．

的極大值為，極小值為又，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，當(dāng)x＝3時(shí)取得最大值1.

【解析】

試題分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn).（2）解決類似的問(wèn)題時(shí)，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得.（3）分類討論是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的難點(diǎn)，要找好臨界條件進(jìn)行討論.

試題解析：（1）∵為奇函數(shù)，∴．

即∴.∵的最小值為－12，∴.

又直線x－6y－7＝0的斜率為，因此，

故，，.

（2）f（x）＝2x3－12x，f′（x）＝6x2－12＝6（x＋）（x－），

列表如下

X	（－∞，－）	－	（－，）		（，＋∞）
f′（x）	＋	0	－	0	＋
f（x）		極大		極小

 

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－），（，＋∞）．

f（x）的極大值為f（－）＝8，極小值為

f（）＝－8

又f（－1）＝10，f（3）＝18，所以當(dāng)x＝時(shí)，f（x）取得最小值為－8，當(dāng)x＝3時(shí)f（x）取得最大值1

考點(diǎn)：（1）由函數(shù)的性質(zhì)求參量；（2）函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 .