Question

4．過直線x+2y+5=0上一動(dòng)點(diǎn)A（A不在y軸上）作焦點(diǎn)為F（2，0）的拋物線y²=2px的兩條切線，M，N為切點(diǎn)，直線AM，AN分別與y軸交于點(diǎn)B，C．
（Ⅰ）求證：BF⊥AM，并求△ABC的外接圓面積的最小值；
（Ⅱ）求證：直線MN恒過一定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （  I ） 利用拋物線的焦點(diǎn)，可得P=4，求出拋物線y²=8x．設(shè)B（0，b），則直線AM為y=k₁x+b，與拋物線y²=8x聯(lián)立，利用判別式為0，推出k₁k_BF=-1..即BF⊥AM，同理：CF⊥AN，AF為△ABC的外接圓直徑，求解△ABC的外接圓面積最小值．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），求出直線AM方程，直線MN方程，通過點(diǎn)A（x₀，y₀）滿足：x₀+2y₀+5=0，推出直線MN恒過定點(diǎn)．

解答 證明：（  I ） 焦點(diǎn)為F（2，0）的拋物線y²=2px，可得P=4，拋物線y²=8x．
設(shè)B（0，b），則直線AM為y=k₁x+b，與拋物線y²=8x聯(lián)立，得：k₁²x²+2（2k₁b-8）x+b²=0．
因?yàn)橄嗲�，所�?{△_1}={（2{k_1}b-8）^2}-4k_1^2{b^2}=0$，得：${k_1}=\frac{2}$，又${k_{BF}}=\frac{b-0}{0-2}=-\frac{2}$，所以k₁k_BF=-1．
即BF⊥AM，同理：CF⊥AN，所以AF為△ABC的外接圓的直徑，
又因?yàn)椋?{|{AF}|_{min}}=\frac{7}{{\sqrt{5}}}$，
所以△ABC的外接圓面積最小值為：$\frac{49}{20}π$
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
易知：直線AM方程為：4x-y₁y+4x₁=0，
代入點(diǎn)A坐標(biāo)得：4x₀-y₁y₀+4x₁=0，同理：4x₀-y₂y₀+4x₂=0，
所以直線MN方程為：4x-y₀y+4x₀=0，又點(diǎn)A（x₀，y₀）滿足：x₀+2y₀+5=0
所以直線MN恒過定點(diǎn)（5，-8）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．