Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b，求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b，建立方程，即可求a，b的值；
（2）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′（x）=x-$\frac{a}{x}$．
∵函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b，
∴f（2）=2-aln2=2+b，f′（2）=2-$\frac{a}{2}$=1，
∴a=2，b=-2ln2；
（2）f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，x＞0．
a≤0時，f′（x）=x-$\frac{a}{x}$＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
a＞0時，x＞$\sqrt{a}$，f′（x）＞0；0＜x＜$\sqrt{a}$，f′（x）＜0，
可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（$\sqrt{a}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，$\sqrt{a}$）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．