Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知半徑為2的圓C，圓心在x軸正半軸上，且與直線x-$\sqrt{3}$y+2=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）在圓C上，是否存在點(diǎn)P，滿足|PQ|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$|PO|，其中，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是Q（-1，0）．若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)；若不存在，請說明理由；
（3）若在圓C上存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交不同兩點(diǎn)A，B，求m的取值范圍．并求出使得△OAB的面積最大的點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線和圓相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑，建立方程進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)|PQ|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$|PO|，建立方程關(guān)系，進(jìn)行判斷即可；
（3）根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)圓心是（a，0），（a＞0），它到直線x-$\sqrt{3}$y+2=0的距離是d=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+3}}$=2，
解得a=2或a=-6（舍去），所以，所求圓C的方程是（x-2）²+y²=4．（4分）
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（x，y），則由$PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}PO$，得x²+y²+4x+2=0．（6分）
即，點(diǎn)P在圓D：（x+2）²+y²=2上，點(diǎn)P也在圓C：（x-2）²+y²=4上．
因?yàn)?|{CD}|=4＞{r_c}+{r_d}=2+\sqrt{2}$，所以圓C與圓D外離，圓C與圓D沒有公共點(diǎn)．
所以，不存在點(diǎn)P滿足條件．（8分）
（3）存在，理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)M（m，n），在圓C上，所以（m-2）²+n²=4，
即n²=4-（m-2）²=4m-m²且0≤m≤4．
因?yàn)樵�點(diǎn)到直線l：mx+ny=1的距離h=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4m}}$＜1，解得$\frac{1}{4}$＜m≤4   （10分）
而|AB|=2$\sqrt{1-{h}^{2}}$，
所以S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|h=$\sqrt{{h}^{2}-{h}^{4}}$=$\sqrt{\frac{1}{4m}-（\frac{1}{4m}）^{2}}$=$\sqrt{-（\frac{1}{4m}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
因?yàn)?\frac{1}{16}≤$$\frac{1}{4m}$＜1，所以當(dāng)$\frac{1}{4m}$=$\frac{1}{2}$，即m=$\frac{1}{2}$時(shí)，S_△OAB取得最大值$\frac{1}{2}$，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$）或（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$），△OAB的面積的最大值是$\frac{1}{2}$．（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．