Question

1．已知點(diǎn)O是銳角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=$\frac{π}{3}$．若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，則6x+9y=（　�。�

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E，計(jì)算$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值，再根據(jù)$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，列出方程組求出x與y的值，即可求出答案．

解答 解：如圖所示，
過(guò)點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E；
則D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{1}{2}$×8²=32，
$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}$×12²=72；
又A=$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=8×12×cos$\frac{π}{3}$=48，
∵$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=x${\overrightarrow{AB}}^{2}$+y$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+y${\overrightarrow{AC}}^{2}$，
化為32=64x+48y①，72=48x+144y②，
聯(lián)立①②解得x=$\frac{1}{6}$，y=$\frac{4}{9}$；
∴6x+9y=5．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形外心性質(zhì)、垂經(jīng)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，是綜合性題目．