Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA垂直底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中點(diǎn)．
（1）求證：AM∥平面SCD；
（2）設(shè)點(diǎn)N是CD上的中點(diǎn)，求三棱錐N-BCM的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取SC的中點(diǎn)P，連接MP，DP．證明MP∥BC，推出AM∥DP，利用直線與平面平行的判定定理證明AM∥平面SCD；
（2）判斷V_N-BCM=V_M-BCN，取AB的中點(diǎn)Q，連接QM．證明MQ⊥平面ABCD，求出棱錐的底面面積與高然后求解體積．

解答： 解：（1）證明：如圖，取SC的中點(diǎn)P，連接MP，DP．由題設(shè)條件易知AD∥BC，且AD=

1

2

BC，而MP為三角形SBC的中位線，所以MP∥BC，且MP=

1

2

BC，所以MP∥AD，且MP=AD即四邊形ADPM為平行四邊形，所以AM∥DP，
又DP?平面SCD，所以AM∥平面SCD；
（2）顯然V_N-BCM=V_M-BCN，
取AB的中點(diǎn)Q，連接QM．
易知MQ∥SA，且MQ=

1

2

SA=1，
又已知側(cè)棱垂直底面，
所以MQ⊥平面ABCD
在直角梯形ABCD中，可求S△BCN=

1

2

×2×1=1，
所以VN-BCM=VM-BCN=

1

3

•S△BCN•MQ=

1

3

×1×1=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．