Question

8．已知函數(shù)f（x）=x-alnx，g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在[1，e]上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=x-（a+1）lnx-$\frac{a}{x}$，求導(dǎo)后，分類討論不同區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)，可得函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在[1，e]上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，即函數(shù)h（x₀）＜0成立，結(jié)合（1）中結(jié)論，分類討論可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x-alnx，g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
∴h（x）=f（x）-g（x）=x-（a+1）lnx-$\frac{a}{x}$，
∴h′（x）=1-$\frac{a+1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，則x=a，或x=1，
①當(dāng)a≤0時(shí)，令h′（x）＜0得：x∈（0，1），令h′（x）＞0得：x∈（1，+∞），
此時(shí)函數(shù)h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令h′（x）＜0得：x∈（a，1），令h′（x）＞0得：x∈（0，a）∪（1，+∞），
此時(shí)函數(shù)h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（a，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a）和（1，+∞），
③當(dāng)a=1時(shí)，h′（x）≥0恒成立；
此時(shí)函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
④當(dāng)a＞1時(shí)，令h′（x）＜0得：x∈（1，a），令h′（x）＞0得：x∈（0，1）∪（a，+∞），
此時(shí)函數(shù)h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，a），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（a，+∞），
（2）若在[1，e]上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，即函數(shù)h（x₀）＜0成立，
①當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，此時(shí)h（x）≥h（1）=1-a，
由1-a＜0得：a＞1，
故此時(shí)不存在滿足條件的a值；
②當(dāng)a＞1時(shí)，h（1）=1-a＜0，滿足條件；
綜上可得：a＞1

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，存在性問題，分類討論思想，難度中檔．