Question

已知命題p：“?x＞1，x+

1

x-1

≥a”，命題q：“方程x²-ax+2a=0有兩個(gè)不等實(shí)根”，p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：別求出命題p，q為真命題時(shí)的取值范圍，然后利用若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：命題p為真命題時(shí)：?x＞1，x-1＞0，根據(jù)基本不等式，a≤x-1+

1

x-1

+1≤2

(x-1)× 1 x-1

+1=2+1=3（當(dāng)且僅當(dāng)x-1=

1

x-1

即x=0時(shí)取相等），此時(shí)a≤3；
命題q為真命題時(shí)，方程x²-ax+2a=0有兩個(gè)不等實(shí)根，則△＞0，即a²-8a＞0，解得a＜0或a＞8；
∵p∧q為假命題，p∨q為真命題，
∴命題p和q一真一假，
p真q假時(shí)，有

a≤3 0≤a≤8

，則0≤a≤3，
p假q真時(shí)，有

a＞3 a＜0或a＞8

，則a＞8，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍：[0，3]∪（8，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題的真假與簡(jiǎn)單命題真假之間的關(guān)系，比較基礎(chǔ)．