Question

7．已知點(diǎn)G（5，4），圓C₁：（x-1）²+（y-4）²=25，過點(diǎn)G的動(dòng)直線l與圓C₁，相交于兩點(diǎn)E、F，線段EF的中點(diǎn)為C．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)A（1，0）的直線l₁：kx-y-k=0，與C₂相交于兩點(diǎn)P、Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，l₁與l₂：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，求證：|AM|•|AN|為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)C（x，y），由圓的性質(zhì)及勾股定理，得（x-1）²+（y-4）²+（x-5）²+（y-4）²=（5-1）²+（4-4）²，即可求點(diǎn)C的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）分別聯(lián)立相應(yīng)方程，求得M，N的坐標(biāo)，再求：|AM|•|AN|為定值．

解答 （Ⅰ）解：圓C₁：（x-1）²+（y-4）²=25的圓心C₁（1，4），半徑為5，
設(shè)C（x，y），由圓的性質(zhì)及勾股定理，
得（x-1）²+（y-4）²+（x-5）²+（y-4）²=（5-1）²+（4-4）²，
化簡(jiǎn)并整理，得（x-3）²+（y-4）²=4，∴點(diǎn)C的軌跡C₂的方程為：（x-3）²+（y-4）²=4．…（6分）
（Ⅱ）證明：∵過點(diǎn)A（1，0）的直線l₁與C₂相交于P、Q兩點(diǎn)．
結(jié)合C₂的方程（x-3）²+（y-4）²=4，知k≠0，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{kx-y-k=0}\\{x+2y+2=0}\end{array}\right.$，得$N（{\frac{2k-2}{2k+1}，-\frac{3k}{2k+1}}）$，
有直線C₂M與l₁垂直，∴C₂M的方程為$y-4=-\frac{1}{k}（x-3）$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{y-4=-\frac{1}{k}（x-3）}\end{array}\right.$得，$M（{\frac{{{k^2}+4k+3}}{{1+{k^2}}}，-\frac{{4{k^2}+2k}}{{1+{K^2}}}}）$，
則$|AM|=\sqrt{{{（{1-\frac{{{k^2}+4k+3}}{{1+{k^2}}}}）}^2}+{{（{\frac{{4{k^2}+2k}}{{1+{K^2}}}}）}^2}}=\frac{{2|2k+1|\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+{k^2}}}$，$|AN|=\sqrt{{{（{1-\frac{2k-2}{2k+1}}）}^2}+{{（{-\frac{3k}{2k+1}}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{1+{k^2}}}}{|2k+1|}$，
∴$|AM|•|AN|=\frac{{2|2k+1|\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+{k^2}}}•\frac{{3\sqrt{1+{k^2}}}}{|2k+1|}=6$為定值．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及直線與直線的交點(diǎn)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．