Question

【題目】已知函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

求函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn).

【解析】

分析：（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，在區(qū)間上有零點(diǎn)和在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn)共兩個(gè)零點(diǎn).

詳解：（1）∵

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，，恒成立，

∴，此時(shí)在單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，

	+	0	-	0	+
	↗		↘		↗

即在和上單調(diào)遞增；

在上單調(diào)減；

綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增；

在上單調(diào)遞減；

（2）由（1）知，

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，此時(shí)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，且，∴在單調(diào)遞增；，此時(shí)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令（負(fù)值舍去）

①當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，，此時(shí)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)即時(shí)，

若即時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，此時(shí)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)；

若即時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，此時(shí)在區(qū)間上有零點(diǎn)和在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn)共兩個(gè)零點(diǎn)；

綜上：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)；

時(shí)，在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn).