Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）若tanx=2，求f（x） 的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)向量的坐標的數(shù)量積公式得到f（x），再根據(jù)同角的三角形函數(shù)的關(guān)系即可求出答案，
（2）根據(jù)二倍角公式和兩角和的正弦公式得到f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出單調(diào)增區(qū)間

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinxcosx+cos²x=$\frac{sinxcosx+co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{tanx+2}{ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{2+2}{{2}^{2}+1}$=$\frac{4}{5}$；
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinxcosx+cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z

點評 本題考查了向量的坐標的數(shù)量積公式和三角形函數(shù)的化簡以及性質(zhì)，屬于中檔題．