Question

6．設(shè)點(diǎn)P是曲線y=2x²上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，曲線y=2x²在點(diǎn)P處的切線為l，過(guò)點(diǎn)P且與直線l垂直的直線與曲線y=2x²的另一交點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)得直線l的斜率，則過(guò)點(diǎn)P且與直線l垂直的直線方程可求，和拋物線聯(lián)立后求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出PQ的距離，先利用換元法降冪，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值．

解答 解：設(shè)P的坐標(biāo)為（a，2a²），由y‘=4x得l的斜率為4a，所以，直線PQ的斜率為=-$\frac{1}{4a}$，
所以，PQ的方程為：y-2a²=-$\frac{1}{4a}$ （x-a），
與y=2x²聯(lián)立，整理得，2x²+$\frac{1}{4a}$x-2a²-$\frac{1}{4}$=0，
所以，由韋達(dá)定理，x₁+x₂=-$\frac{1}{8a}$，x₁x₂=-a²-$\frac{1}{8}$，
由弦長(zhǎng)公式得，PQ=$\sqrt{1+\frac{1}{16{a}^{2}}}$•$\sqrt{（-\frac{1}{8a}）^{2}-4（-{a}^{2}-\frac{1}{8}）}$=$\sqrt{\frac{1}{1024{a}^{4}}+\frac{1}{8{a}^{2}}+4{a}^{2}+\frac{9}{4}}$，
令t=4a²＞0．g（t）=$\frac{1}{64{t}^{2}}+\frac{1}{2t}+t+\frac{9}{4}$．
則g′（t）=$\frac{32{t}^{3}-16t-1}{32{t}^{3}}$，
可得PQ的最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解答此題的關(guān)鍵是把高次冪的函數(shù)式通過(guò)換元降冪，是中檔題．