Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n（n∈N^*），求使b₁+b₂+…+b_n＞45成立的最小整數(shù)n．

Answer 1

分析 （I）由數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=2a_n，數(shù)列{a_n}的公比q=2，a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，可得2（a₂+1）=a₁+a₃．解得a₁．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n．
（Ⅱ）由（I）可知b_n=log₂a_n=n，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，將b₁+b₂+…+b_n＞45轉(zhuǎn)化成$\frac{n（n+1）}{2}$＞45，解得n的取值范圍，求得不等式成立的最小正整數(shù)n．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閍_n+1=2a_n，
所以數(shù)列{a_n}為公比為2的等比數(shù)列，
由已知：a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，即2（a₂+1）=a₁+a₃，
2（2a₁+1）=a₁+4a₁，
所以a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=log₂a_n=n，
所以b_n-b_n-1=1，
數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
b₁+b₂+…+b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{n（n+1）}{2}$＞45，即：n²+n-90＞0
解得：n＞9，
求使b₁+b₂+…+b_n＞45成立的最小整數(shù)n=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．