Question

15．證明：$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n}$＜$\frac{2}{3}$[（n+1）$\sqrt{n+1}$-1]．

Answer 1

分析 運用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，先驗證n=1，不等式成立；假設(shè)n=k，k∈N*時，不等式$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{k}$＜$\frac{2}{3}$[（k+1）$\sqrt{k+1}$-1]成立．證明n=k+1時，不等式$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{k}$+$\sqrt{k+1}$＜$\frac{2}{3}$[（k+2）$\sqrt{k+2}$-1]成立．注意運用假設(shè)和不等式的傳遞性，由分析法即可得證．

解答 證明：運用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)n=1時，不等式的左邊=$\sqrt{1}$=1，右邊=$\frac{2}{3}$（2$\sqrt{2}$-1）＞1.2＞1，不等式成立；
假設(shè)n=k，k∈N*時，不等式$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{k}$＜$\frac{2}{3}$[（k+1）$\sqrt{k+1}$-1]成立．
當(dāng)n=k+1時，不等式的左邊=$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{k}$+$\sqrt{k+1}$
＜$\frac{2}{3}$[（k+1）$\sqrt{k+1}$-1]+$\sqrt{k+1}$，
要證$\frac{2}{3}$[（k+1）$\sqrt{k+1}$-1]+$\sqrt{k+1}$＜$\frac{2}{3}$[（k+2）$\sqrt{k+2}$-1]，
只要證（k+$\frac{5}{2}$）$\sqrt{k+1}$＜（k+2）$\sqrt{k+2}$，
兩邊平方即為（k+$\frac{5}{2}$）²（k+1）＜（k+2）²（k+2），
即為k³+6k²+$\frac{45}{4}$k+$\frac{25}{4}$＜k³+6k²+12k+8，
即有$\frac{3}{4}$k+$\frac{7}{4}$＞0，顯然成立．
則n=k+1時，不等式$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{k}$+$\sqrt{k+1}$＜$\frac{2}{3}$[（k+2）$\sqrt{k+2}$-1]成立．
綜上可得，對n為任意自然數(shù)，都有$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n}$＜$\frac{2}{3}$[（n+1）$\sqrt{n+1}$-1]．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用數(shù)學(xué)歸納法證明，結(jié)合分析法證明，考查運算和推理能力，屬于中檔題．