Question

10．底面是正方形的四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐中，面積最大的側(cè)面的面積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖畫出幾何圖形的直觀圖，結(jié)合圖形分別求出四棱錐的四個(gè)側(cè)面面積，即可得出側(cè)面中最大的側(cè)面面積．

解答 解：如圖所示，
由四棱錐的三視圖可知，該四棱錐底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為1的四棱錐；
△PAD是直角三角形，且直角邊AD=1，PD=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
S_△PAD=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
S_△PBC=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
△PAB中，AB=1，PA=$\sqrt{{1}^{2}{+（1}^{2}{+1}^{2}）}$=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{5}）}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
cos∠PAB=$\frac{{（\sqrt{3}）}^{2}{+1}^{2}{-（\sqrt{6}）}^{2}}{2×\sqrt{3}×1}$=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$
∴sin∠PAB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
S_△PBC=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
所以四棱錐側(cè)面中最大側(cè)面是△PBC，面積是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三視圖的識(shí)別和應(yīng)用以及錐體的表面積計(jì)算問(wèn)題，也考查了線面垂直和面面垂直的應(yīng)用問(wèn)題，考查了推理與計(jì)算能力．