Question

在長方體OABC-O₁A₁B₁C₁中，|OA|=2，|AB|=3，|AA₁|=2，E是BC的中點，建立空間直角坐標系，用向量方法解決下列問題．
（1）求直線AO₁與B₁E所成的角的余弦值；
（2）作O₁D⊥AC于D，求點O₁到點D的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以O(shè)為原點，OA為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AO₁與B₁E所成的角的余弦值．
（2）求出

AO1

=（-2，0，2），

AC

=（-2，3，0），由向量法得到點O₁到點D的距離d=|

AO1

|•

1-[cos＜ AO1 ， AC ＞]2

，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）以O(shè)為的點，OA為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵在長方體OABC-O₁A₁B₁C₁中，|OA|=2，|AB|=3，|AA₁|=2，
E是BC的中點，
∴A（2，0，0），O₁（0，0，2），

AO1

=（-2，0，2），
B₁（2，3，2），E（1，3，0），

B1E

=（-1，0，-2），
∴|cos＜

AO1

，

B1E

＞|=|

2+0-4

8 • 5

|=

10

10

直線AO₁與B₁E所成的角的余弦值為

10

10

．
（2）A（2，0，0），O₁（0，0，2），C（0，3，0），

AO1

=（-2，0，2），

AC

=（-2，3，0），
∴點O₁到點D的距離d=|

AO1

|•

1-[cos＜ AO1 ， AC ＞]2

=2

2

•

1-( 4 2 2 × 13 )2

=

2 286

13

．

點評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間兩點間距離的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．