Question

14．已知函數(shù)f（x）=2x+3，若b₁=1，b_n+1=$\frac{_{n}}{1+_{n}•f（n-1）}$（n∈N^*）
（1）求b₂，b₃的值；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）記c_n=$\root{4}{_{n}}$（n∈N^*），試證：c₁+c₂+…+c₂₀₁₀＜89．

Answer 1

分析 （1）求得b_n+1=$\frac{_{n}}{1+_{n}（2n+1）}$，分別令n=1，2計(jì)算即可得到所求值；
（2）對等式兩邊取倒數(shù)，運(yùn)用數(shù)列恒等式，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)公式；
（3）求得c_n=$\root{4}{_{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，注意從第二項(xiàng)放縮，化簡整理即可得證．

解答 解：（1）b_n+1=$\frac{_{n}}{1+_{n}•f（n-1）}$=$\frac{_{n}}{1+_{n}（2n+1）}$，
可得b₂=$\frac{_{1}}{1+3_{1}}$=$\frac{1}{1+3}$=$\frac{1}{4}$，
b3=$\frac{_{2}}{1+5_{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{5}{4}}$=$\frac{1}{9}$；
（2）由b_n+1=$\frac{_{n}}{1+_{n}（2n+1）}$，兩邊取倒數(shù)，可得：
$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{1}{_{n}}$+2n+1，
可得$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{_{1}}$+（$\frac{1}{_{2}}$-$\frac{1}{_{1}}$）+（$\frac{1}{_{3}}$-$\frac{1}{_{2}}$）+…+（$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n-1}}$）
=1+3+5+…+2n-1=n²，
可得b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$，（n∈N^*）；
（3）證明：c_n=$\root{4}{_{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），
則c₁+c₂+…+c₂₀₁₀=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2010}}$
＜1+2（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2010}$-$\sqrt{2009}$）
=1+2（$\sqrt{2010}$-1）=2$\sqrt{2010}$-1，
要證2$\sqrt{2010}$-1＜89，即為$\sqrt{2010}$＜45，
即有2010＜2025成立．
則c₁+c₂+…+c₂₀₁₀＜89成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用取倒數(shù)，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及等差數(shù)列的求和公式，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．