Question

11．已知曲線C₁：x²+（y-$\frac{1}{4}$）²=1（y≥$\frac{1}{4}$），C₂：x²=8y-1（|x|≥1），動直線l與C₂相交于A，B兩點(diǎn)，曲線C₂在A，B處的切線相交于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)MA⊥MB時，求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若直線l與C₁相切于點(diǎn)P，試問：在y軸上是否存在兩個定點(diǎn)T₁，T₂，當(dāng)直線MT₁，MT₂斜率存在時，兩直線的斜率之積恒為定值？若存在求出滿足條件的點(diǎn)T₁，T₂的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)l：y=kx+b，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=8y-1}\end{array}\right.$，得x²-8kx-8b+1=0，由此利用韋達(dá)定理、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出l的方程為y=kx+$\frac{17}{8}$，恒過定點(diǎn)（0，$\frac{17}{8}$）．
（2）設(shè)M（u，v），直線MA：$\frac{{x}_{1}}{4}x-y-{y}_{1}+\frac{1}{4}=0$，由此可得切線AB的方程為$\frac{x}{4}u-y-v+\frac{1}{4}$=0，由直線AB與圓相切得${v}^{2}-\frac{{u}^{2}}{16}=1$，由此能求出存在兩個定點(diǎn)T₁（0，-1），T₂（0，1），滿足${k}_{M{T}_{1}}•{k}_{M{T}_{2}}$=$\frac{1}{16}$恒為定值．

解答 證明：（1）依題意，直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=8y-1}\end{array}\right.$，得x²-8kx-8b+1=0，
則x₁x₂=-8b+1，…（2分）
又由y=$\frac{{x}^{2}+1}{8}$，得${y}^{'}=\frac{x}{4}$，
${k}_{MA}•{k}_{MB}=\frac{{x}_{1}}{4}•\frac{{x}_{2}}{4}=-1$，x₁x₂=-16，
∴-8b+1=-16，∴b=$\frac{17}{8}$，…（4分）
∴l(xiāng)的方程為y=kx+$\frac{17}{8}$，恒過定點(diǎn)（0，$\frac{17}{8}$）．…（5分）
解：（2）設(shè)M（u，v），直線MA：y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{4}$（x-x₁），即$\frac{{x}_{1}}{4}x-y-{y}_{1}+\frac{1}{4}=0$，
又MA經(jīng)過M（u，v），∴$\frac{{x}_{1}}{4}u-v-{y}_{1}+\frac{1}{4}=0$，即$\frac{{x}_{1}}{4}u-{y}_{1}-v+\frac{1}{4}$=0，
∴$\frac{{x}_{1}}{4}u-{y}_{2}-v+\frac{1}{4}=0$，
由此可得切線AB的方程為$\frac{x}{4}u-y-v+\frac{1}{4}$=0，…（8分）
由直線AB與圓相切得$\frac{|0×\frac{u}{4}-\frac{1}{4}-v+\frac{1}{4}|}{\sqrt{（\frac{u}{4}）^{2}+1}}$=1，化簡得${v}^{2}-\frac{{u}^{2}}{16}=1$，…（10分）
從而動點(diǎn)M的軌跡方程為${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{16}=1$，為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．
取T₁（0，-1），T₂（0，1），則${k}_{M{T}_{1}}•{k}_{M{T}_{2}}$=$\frac{y+1}{x}•\frac{y-1}{x}$=$\frac{{y}^{2}-1}{{x}^{2}}$=$\frac{\frac{{x}^{2}}{16}}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{16}$為定值
故存在兩個定點(diǎn)T₁（0，-1），T₂（0，1），滿足${k}_{M{T}_{1}}•{k}_{M{T}_{2}}$=$\frac{1}{16}$恒為定值．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線恒過定點(diǎn)的證明及定點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查兩直線的斜率之積恒為定值的定點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、導(dǎo)數(shù)數(shù)性質(zhì)、直線方程、圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．