Question

1．已知二次函數(shù)f（x）=ax²-（2a-1）x-lnx（a為常數(shù)，a≠1）．
（Ⅰ）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值；
（Ⅱ）記函數(shù)y=f（x）圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N．判斷曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的最大值即可；
（Ⅱ）設(shè)出M的坐標(biāo)，分別求出直線AB的斜率k₁，C在點(diǎn)N處的切線斜率k₂，由k₁=k₂，得到$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=-$\frac{2}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，得出矛盾．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{（2ax+1）（x-1）}{x}$，
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，得x₁=-$\frac{1}{2a}$，x₂=1，又x∈[1，2]，則有如下分類：
①當(dāng)-$\frac{1}{2a}$≥2，即-$\frac{1}{4}$≤a＜0時(shí)，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，
所以f（x）_max=f（2）=2-ln2． 
②當(dāng)1＜-$\frac{1}{2a}$＜2，即-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）在[1，-$\frac{1}{2a}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{1}{2a}$，2]上是減函數(shù)，
所以f（x）_max=f（-$\frac{1}{2a}$）=1-$\frac{1}{4a}$+ln（-2a）． 
③當(dāng)-$\frac{1}{2a}$≤1，即a≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
所以f（x）_max=f（1）=1-a．  
綜上，函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值為：
f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{2-ln2，（-\frac{1}{4}≤a＜0）}\\{1-\frac{1}{4a}+ln（-2a），（-\frac{1}{2}＜a＜-\frac{1}{4}）}\\{1-a，（a≤-\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀），則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為x₀=$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$，
直線AB的斜率k₁=$\frac{{{y}_{1}-y}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{1}-x}_{2}}$[a（${{x}_{1}}^{2}$-${{x}_{2}}^{2}$）+（1-2a）（x₁-x₂）+lnx₂-lnx₁]
=a（x₁+x₂）+（1-2a）+$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，
C在點(diǎn)N處的切線斜率
k₂=f′（x₀）=a（x₁+x₂）+（1-2a）-$\frac{2}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，
假設(shè)曲線C在點(diǎn)N處的切線平行于直線AB，則k₁=k₂，
即$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=-$\frac{2}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，所以ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$，
不妨設(shè)x₁＜x₂，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t＞1，則lnt=$\frac{2（t-1）}{1+t}$，
令g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$（t＞1），g′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
所以g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，又g（1）=0，
所以g（t）＞0，即lnt=$\frac{2（t-1）}{1+t}$不成立，
所以曲線C在點(diǎn)N處的切線不平行于直線AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及直線的斜率問題，考查分類討論思想，換元思想，是一道綜合題．