Question

2．在△ABC中，若2b=a+c，B=30°，且該三角形的面積為$\frac{3}{2}$，則b=1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知及三角形面積公式可求ac=6，4b²=a²+c²+2ac，由余弦定理得b²=a²+c²-2ac×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，兩式相減得可得b²=4+2$\sqrt{3}$，即可得解b的值．

解答 解：在△ABC中，∵B=30°，△ABC的面積是$\frac{3}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$acsin30°=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$ac=$\frac{3}{2}$，
即ac=6，
∵2b=a+c，
∴4b²=a²+c²+2ac，①
則由余弦定理得b²=a²+c²-2ac×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，②
∴兩式相減得3b²=2ac+2ac×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=12+6$\sqrt{3}$，
即b²=4+2$\sqrt{3}$，
即b=1+$\sqrt{3}$．
故答案為：1+$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理的應用．解題過程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面積公式以及勾股定理等知識．要求熟練掌握相應的公式和定理，屬于中檔題．