Question

12．若a∈[0，1]，b∈[0，1]，則函數(shù)y=x³+$\sqrt{a}{x^2}$+bx+2為增函數(shù)的概率為（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)y=x³+$\sqrt{a}{x^2}$+bx+2為增函數(shù)時(shí)，a-3b≤0，結(jié)合a∈[0，1]，b∈[0，1]，求出相應(yīng)的面積，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵y=x³+$\sqrt{a}{x^2}$+bx+2，
∴y′=3x²+2$\sqrt{a}$x+b，
∵函數(shù)y=x³+$\sqrt{a}{x^2}$+bx+2為增函數(shù)，
∴y′=3x²+2$\sqrt{a}$x+b≥0恒成立，
∴△=4a-12b≤0，
∴a-3b≤0，
∵a∈[0，1]，b∈[0，1]，
∴區(qū)域面積為1，a-3b≤0時(shí)，區(qū)域面積為1-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×1=$\frac{5}{6}$，
∴函數(shù)y=x³+$\sqrt{a}{x^2}$+bx+2為增函數(shù)的概率為$\frac{5}{6}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查幾何概型，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．