Question

6．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈R）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．．直線y=$\sqrt{3}$與函數(shù)y=f（x）（x∈R）圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{π}{6}$+4kπ，$\sqrt{3}$）或（$\frac{5π}{6}$+4kπ，$\sqrt{3}$）（k∈Z）．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象可知A=2，T=4π，從而可求ω，再由ω×$\frac{π}{2}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ可求得φ，從而可得答案．然后解方程2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得x=x=$\frac{π}{6}$+4kπ或$\frac{5π}{6}$+4kπ（k∈Z），由此即可得到直線y=$\sqrt{3}$與函數(shù)f（x）圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈R），
∴A=2，周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{2}$-（-$\frac{π}{2}$）=4π，
∴ω=$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+φ），
又f（-$\frac{π}{2}$）=2sin（$\frac{1}{2}$×（-$\frac{π}{2}$）+φ）=0，
∴φ-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，|φ|＜π，
∴φ=$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．
當(dāng)f（x）=$\sqrt{3}$時(shí)，即2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，可得sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{3}$+2kπ或$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{3}$+2kπ（k∈Z），可得x=$\frac{π}{6}$+4kπ或$\frac{5π}{6}$+4kπ（k∈Z）
由此可得，直線y=$\sqrt{3}$與函數(shù)f（x）圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)為：（$\frac{π}{6}$+4kπ，$\sqrt{3}$）或（$\frac{5π}{6}$+4kπ，$\sqrt{3}$）（k∈Z）．
故答案為：f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$），（$\frac{π}{6}$+4kπ，$\sqrt{3}$）或（$\frac{5π}{6}$+4kπ，$\sqrt{3}$）（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，確定φ是難點(diǎn)，屬于中檔題．