Question

16．已知圓M：（x-1）²+y²=1，設(shè)A（0，t），B（0，t+6），（-5≤t≤-2），若圓M是△ABC的內(nèi)切圓，則△ABC面積的最大值為（　　）

• A． $\frac{15}{2}$
• B． $\frac{29}{4}$
• C． 7
• D． $\frac{27}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達式，求出面積的最大值即可．

解答 解：設(shè)AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，則
直線AC的方程為y=k₁x+t，直線BC的方程為y=k₂x+t+6；
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y{=k}_{1}x+t}\\{y{=k}_{2}x+t+6}\end{array}\right.$，得C點的橫坐標為x_c=$\frac{6}{{k}_{1}{-k}_{2}}$，
∵|AB|=t+6-t=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•$\frac{6}{{k}_{1}{-k}_{2}}$•6=$\frac{18}{{k}_{1}{-k}_{2}}$，
由于圓M與AC相切，所以$\frac{{|k}_{1}+t|}{\sqrt{1{{+k}_{1}}^{2}}}$=1，∴k₁=$\frac{1{-t}^{2}}{2t}$；
同理，k₂=$\frac{1{-（t+6）}^{2}}{2（t+6）}$，
∴k₁-k₂=$\frac{3{（t}^{2}+6t+1）}{{t}^{2}+6t}$，
∴S_△ABC=$\frac{6{（t}^{2}+6t）}{{t}^{2}+6t+1}$=6（1-$\frac{1}{{t}^{2}+6t+1}$），
∵-5≤t≤-2，∴-2≤t+3≤1，∴-8≤t²+6t+1≤-4，
∴S_△ABC的最大值為6×（1+$\frac{1}{4}$）=$\frac{15}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，三角形面積的最值問題，也考查計算能力的應用問題，是綜合性題目．