Question

15．一次函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．
（1）求f（x）
（2）當x∈[1，3]時，g（x）有最大值13，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）根據題意設f（x）=ax+b，（a＞0），利用f[f（x）]=16x+5求出a、b的值即可；
（2）求出g（x）解析式，知g（x）是二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為x=-$\frac{4m+1}{8}$，
討論-$\frac{4m+1}{8}$≤1和-$\frac{4m+1}{8}$＞1時，求出g（x）_max，得出對應m的值．

解答 解：（1）一次函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，可設f（x）=ax+b，（a＞0）；
∴f[f（x）]=a（ax+b）+b=a²x+ab+b=16x+5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=16}\\{ab+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$（不合題意舍去）；
∴f（x）=4x+1；
（2）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x²+（4m+1）x+m，
是二次函數(shù)，開口向上，且對稱軸為x=-$\frac{4m+1}{8}$，
①當-$\frac{4m+1}{8}$≤1，即m≥-$\frac{9}{4}$時，g（x）在[1，3]上是單調增函數(shù)，
令g（x）_max=g（3）=39+13m=13，解得m=-2，符合題意；
②當-$\frac{4m+1}{8}$＞1，即m＜-$\frac{9}{4}$時，g（x）_max=g（1）=5+5m=13，
解得m=$\frac{8}{5}$，不符合題意；
由①②可得m=-2．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的應用以及二次函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是綜合性題目．