Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=10•4^n-1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b_n=log₂a_n．
（I）求b_n，S_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{_{n}+1}{2}$，證明：$\sqrt{{c}_{1}•{c}_{2}}$+${\sqrt{{c}_{2•}c}}_{3}$+…+${\sqrt{{c}_{n}•c}}_{n+1}$＜$\frac{1}{2}$S_n+1（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得首項(xiàng)為2，公比為4，可得a_n=2^2n-1，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n=2n-1，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式即可得到S_n；
（Ⅱ）求得c_n=$\frac{_{n}+1}{2}$=n，原不等式即為$\sqrt{1•2}$+$\sqrt{2•3}$+…+$\sqrt{n（n+1）}$＜$\frac{1}{2}$（n+1）²．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．結(jié)合分析法，注意運(yùn)用假設(shè)，化簡(jiǎn)整理，即可得證．

解答 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a_n+1+a_n=10•4^n-1（n∈N^*），可得a₁（1+q）•q^n-1=10•4^n-1，
即有q=4，a₁（1+q）=10，解得a₁=2，
則a_n=2•4^n-1=2^2n-1，b_n=log₂a_n=log₂2^2n-1=2n-1，
S_n=$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n=n²；
（Ⅱ）證明：c_n=$\frac{_{n}+1}{2}$=n，
不等式$\sqrt{{c}_{1}•{c}_{2}}$+${\sqrt{{c}_{2•}c}}_{3}$+…+${\sqrt{{c}_{n}•c}}_{n+1}$＜$\frac{1}{2}$S_n+1，
即為$\sqrt{1•2}$+$\sqrt{2•3}$+…+$\sqrt{n（n+1）}$＜$\frac{1}{2}$（n+1）²．
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)n=1時(shí)，左邊=$\sqrt{2}$，右邊=$\frac{1}{2}$×4=2，不等式成立；
假設(shè)n=k時(shí)，不等式$\sqrt{1•2}$+$\sqrt{2•3}$+…+$\sqrt{k（k+1）}$＜$\frac{1}{2}$（k+1）²．
當(dāng)n=k+1時(shí)，$\sqrt{1•2}$+$\sqrt{2•3}$+…+$\sqrt{k（k+1）}$+$\sqrt{（k+1）（k+2）}$
＜$\frac{1}{2}$（k+1）²+$\sqrt{（k+1）（k+2）}$，
要證$\frac{1}{2}$（k+1）²+$\sqrt{（k+1）（k+2）}$＜$\frac{1}{2}$（k+2）²．
即證$\sqrt{（k+1）（k+2）}$＜$\frac{1}{2}$（k+2）²-$\frac{1}{2}$（k+1）²=$\frac{1}{2}$（2k+3），
平方可得k²+3k+2＜k²+3k+$\frac{9}{4}$，即有2＜$\frac{9}{4}$成立．
可得n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜上可得，$\sqrt{{c}_{1}•{c}_{2}}$+${\sqrt{{c}_{2•}c}}_{3}$+…+${\sqrt{{c}_{n}•c}}_{n+1}$＜$\frac{1}{2}$S_n+1（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列不等式的證明，注意運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合分析法證明，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．