Question

16．將圓x²+y²=4每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍，得到曲線C．
（1）寫出C的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l：x+2y-2=0與C的交點(diǎn)為P₁、P₂，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求：過線段P₁P₂的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）寫出圓x²+y²=4的參數(shù)方程，即可求出C的參數(shù)方程．
（2）解方程組求得P₁、P₂的坐標(biāo)，可得線段P₁P₂的中點(diǎn)坐標(biāo)．再根據(jù)與l垂直的直線的斜率為2，用點(diǎn)斜式求得所求的直線的方程，再根據(jù)x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直線的極坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）設(shè)（x₁，y₁）為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn)（x，y），…（2分）
依題意得：圓x²+y²=4的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=2sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）…（3分）
∴C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）…（5分）
（2）C的普通方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
與直線l：x+2y-2=0聯(lián)立解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$…（6分）
所以P₁（2，0），P₂（0，1），則線段P₁P₂的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{2}$），所求直線的斜率k=2，
于是所求直線方程為y-$\frac{1}{2}$=2（x-1），并整理得4x-2y=3…（8分）
再根據(jù)x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直線的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{3}{4cosα-2sinα}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求點(diǎn)的軌跡方程的方法，極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于中檔題．