Question

【題目】設(shè)橢圓：（）,左、右焦點(diǎn)分別是、且,以為圓心,3為半徑的圓與以為圓心,1為半徑的圓相交于橢圓上的點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓：,為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),射線交橢圓于點(diǎn)

①求的值；

②令,求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

（1）運(yùn)用圓與圓的位置關(guān)系,和的關(guān)系,計(jì)算即可得到,進(jìn)而得到橢圓的方程；

（2）求得橢圓的方程，①設(shè)，，求得的坐標(biāo)，分別代入橢圓的方程，化簡(jiǎn)整理,即可得到所求值；

②設(shè)，將直線代入橢圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，三角形的面積公式，將直線代入橢圓的方程，由判別式大于0，可得的范圍,結(jié)合二次函數(shù)的最值,，的面積為，即可得到所求的最大值.

解：（1）由題意可知，，可得，

又

,

,

即有橢圓的方程為；

（2）由（1）知橢圓的方程為,

①設(shè),,由題意可知,

,由于,

代入化簡(jiǎn)可得,

所以,即；

②設(shè),,將直線代入橢圓的方程,可得

,由,可得,③

則有,,

所以,

由直線與軸交于,

則的面積為

設(shè),則,

將直線代入橢圓的方程,

可得,

由可得,④

由③④可得,則在遞增，即有取得最大值，

即有，即，取得最大值，

由①知，的面積為，

即面積的最大值為.