Question

19．已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0．
（1）求過點(diǎn)（4，0）圓的切線方程．
（2）是否存在斜率為1的直線m，使m被圓C截得的弦為AB，且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)．若存在，求出直線m的方程； 若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）切線l的斜率存在時(shí)設(shè)為k，則該直線的方程可設(shè)為：y=k（x-4）⇒kx-y-4k=0，利用圓的切線的性質(zhì)：圓心到切線的距離d=r即可得出k．斜率不存在時(shí)判斷即可．
（2）設(shè)這樣的直線存在，其方程為y=x+b，代入圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂，x₁•x₂的值，進(jìn)而求得y₁•y₂的值．根據(jù)OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，求得b=1，或b=-4，從而得出結(jié)論．

解答 解：切線l的斜率存在時(shí)設(shè)為k，則該直線的方程可設(shè)為：y=k（x-4）⇒kx-y-4k=0，
由圓的方程為x²+y²-2x+4y-4=0，配方得（x-1）²+（y+2）²=9，可得圓心C（1，-2），半徑r=3．
由圓的切線的性質(zhì)可得：$\frac{|k+2-4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3，解得k=-$\frac{5}{12}$．此時(shí)的切線方程為：5x+12y-20=0．
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為：x=4．滿足題意，
所以有點(diǎn)切線方程為：x=4或5x+12y-20=0
（2）假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標(biāo)為（a，b）
由于CM⊥m，∴k_CM?k_m=-1∴k_CM=$\frac{b+2}{a-1}=-1$，（6分）
即a+b+1=0，得b=-a-1   ①
直線m的方程為y-b=x-a，即x-y+b-a=0     （8分）
CM=$\frac{{|{b-a+3}|}}{{\sqrt{2}}}$（10分）
∵以AB為直徑的圓M過原點(diǎn)，∴|MA|=|MB|=|OM|${|{MB}|^2}={|{CB}|^2}-{|{CM}|^2}=9-\frac{{{{（b-a+3）}^2}}}{2}$，
|OM|²=a²+b²
∴$9-\frac{{{{（b-a+3）}^2}}}{2}={a^2}+{b^2}$②（12分）
把①代入②得　2a²-a-3=0，∴a=$\frac{3}{2}$或a=-1  （13分）
當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，b=-$\frac{5}{2}$此時(shí)直線m的方程為x-y-4=0；
當(dāng)a=-1時(shí)，b=0此時(shí)直線m的方程為x-y+1=0
故這樣的直線l是存在的，方程為x-y-4=0 或x-y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求圓的切線方程，直線和圓的位置關(guān)系應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．