Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+ax+1$，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，a]上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 f′（x）=x²+2x+a，由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，a]上單調遞增，可得：f′（x）≥0在區(qū)間[-2，a]上恒成立．令g（x）=（x+1）²+a-1，x∈[-2，a]．對a分類討論即可得出．

解答 解：f′（x）=x²+2x+a，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，a]上單調遞增，
∴f′（x）=x²+2x+a≥0在區(qū)間[-2，a]上恒成立．
令g（x）=x²+2x+a，x∈[-2，a]．
g（x）=（x+1）²+a-1，
①當-2＜a＜-1時，函數(shù)g（x）在x∈[-2，a]單調遞減，∴必有g（a）=a²+3a≥0，解得a≤-3或a≥0，舍去．
②當-1≤a時，函數(shù)g（x）在x=-1時取得最小值，∴必有g（x）≥g（-1）=1-2+a≥0，解得a≥1，滿足條件．
綜上可得：a≥1．
∴實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、二次函數(shù)的單調性、恒成立轉化問題，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．