Question

已知圓C₁：x²+y2=2，在圓C₁上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PQ，Q為垂足，點(diǎn)M滿足

PM

=（1-

2

2

）

PQ

．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（0，1）作直線l，l與C₁交于A、B兩點(diǎn)，l與C₂交于C、D兩點(diǎn)，求|AB|•|CD|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)M（x₀，y₀），P（x，y），則Q（x，0），由題意知(x0-x，y0-y)=(0，(

2

2

-1)y)，由此能求出點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，|AB|•|CD|=4

2

，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+1，將l：y=kx+1與C₁：x²+y²=2聯(lián)立，得（k²+1）x²+2kx-1=0，由此利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式得|AB|=

8k2+4 k2+1

，同理|CD|=

k2+1

•

16k2 (2k2+1)2

，由此能求出|AB|•|CD|的最大值為4

2

．

解答： 解：設(shè)M（x₀，y₀），P（x，y），則Q（x，0），
∴

PM

=（x₀-x，y₀-y），

PQ

=（0，-y），
由題意知(x0-x，y0-y)=(0，(

2

2

-1)y)，
∴

x0-x=0 y0-y=( 2 2 -1)y

，解得

x=x0 y= 2 y0

，
∵P在圓C₁：x²+y²=2上，∴x02+2y02=2，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為

x2

2

+y2=1．
（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，|AB|=2

2

，|CD|=2，
則|AB|•|CD|=4

2

，
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將l：y=kx+1與C₁：x²+y²=2聯(lián)立，消去y，整理，得：
（k²+1）x²+2kx-1=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得：x1+x2=-

2k

k2+1

，x1x2=-

1

k2+1

，
∴|AB|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2+1

•

4k2 (k2+1)2 + 4 k2+1

=

8k2+4 k2+1

，
同理，設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
將直線l：y=kx+1與C₂：

x2

2

+y2=1聯(lián)立，消去y，
整理，得：（2k²+1）x²+4kx=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得：x3+x4=-

4k

2k2+1

，x₃x₄=0，
∴|CD|=

1+k2

•

(x3+x4)2-4x3x4

=

k2+1

•

16k2 (2k2+1)2

，
∴|AB|•|CD|=

8k2+4 k2+1

•

k2+1

•

16k2 (2k2+1)2

=8

k2 2k2+1

＜8•

1 2

=4

2

，
綜上，|AB|•|CD|的最大值為4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查線段乘積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．