Question

某制藥廠研制出一種新型疫苗，經(jīng)市場調(diào)查得知，生產(chǎn)這批疫苗的總成本有以下方面：①每生產(chǎn)1盒疫苗需要原料費30元；②支付全體職工的工資總額由5650元的基本工資和每生產(chǎn)1盒疫苗再支付10元組成；③后期保管的平均費用是每盒（x+

750

x

-60）元（疫苗的日生產(chǎn)量為x盒，50≤x≤200，x∈N^*）．
（1）把生產(chǎn)每盒疫苗的成本表示為x的函數(shù)關(guān)系P（x），并求出P（x）的最小值；
（2）如果產(chǎn)品全部賣出，據(jù)測算銷售額Q（x）（元）關(guān)于日產(chǎn)量x盒的函數(shù)關(guān)系為Q（x）=1180x-

1

30

x³，問：當(dāng)日產(chǎn)量為多少盒時生產(chǎn)這批疫苗的利潤最大？

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)生產(chǎn)新型疫苗的生產(chǎn)成本有三個方面，可得函數(shù)關(guān)系P（x），利用配方法求出P（x）的最小值；
（2）生產(chǎn)新型疫苗的利潤f（x）=Q（x）-xf（x）=（1180x-

1

30

x³）-x（x+

6400

x

-20）=-

1

30

x³-x²+1200x-6400（50≤x≤200，x∈N^*）利用導(dǎo)數(shù)，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）因為疫苗的日生產(chǎn)量為x盒，由題意知每日疫苗原料費用為30x元，
職工的工資總額為5650+10x元，后期保管費用為x（x+

750

x

-60）元，
所以每盒疫苗的平均費用為：
P（x）=

30x+5650+10x+x2+750-60x

x

=x+

6400

x

-20（50≤x≤200，x∈N^*），
由均值不等式得x+

6400

x

≥2

x• 6400 x

=160，則P（x）≥140，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

6400

x

，即x=80（盒）時取等號．
所以P（x）的最小值為140元．                                     
（2）設(shè)利潤為y=f（x），
則f（x）=Q（x）-xf（x）=（1180x-

1

30

x³）-x（x+

6400

x

-20）
=-

1

30

x³-x²+1200x-6400（50≤x≤200，x∈N^*），
當(dāng)x∈R時，f′（x）=-

1

10

x²-2x+1200．
令f′（x）=0得x=100或x=-120（舍），
當(dāng)x∈（50，100）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（100，200）時，f′（x）＜0．
所以當(dāng)x=100時f（x）取得極大值，且是最大值，
即當(dāng)日生產(chǎn)量為100盒時，生產(chǎn)疫苗的利潤最高．

點評：本題考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，同時考查了基本不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．